З термінологією і класифікацією трохи попрацювали:

• Ч.1. Optimus Prime
• Ч.2. Класифікація

Тепер давайте розглядати на прикладах. Так скоріш буде простіше в’їхати в тему.

Як ми розібралися, для того щоб можна було иконати оптимізацію нам треба “поставити задачу” тобто детально визначитись з усіма речами які впливають на результат.

Для цього будемо розглядати задачку про консольну “балочку”, яка зафіксована з одного боку, та навантажена на вигин з іншого. В принципі замість такої задачі може бути, що завгодно, але у такої задачі є переваги – наявність простих рішень. Але, окрім того, що таку задачу можна вирішити “аналітично” іі досить просто відтворити в майже будь якому CAE. Що також на допоможе. Коли ми будемо говорити про таку задачу, я буду звертатись до певних формул, але в цілому, пропоную вважати, що в нас є більш складна конструкція, яка так просто не вирішується аналітичним чином, для якої не виведені рівняння на основі яких можна зробити прості висновки і все таке. Тобто ми будемо уявляти, що всі розрахунки відбуваються за допомогою програм на основі МСЕ. В інших випадках, я буду звертатись до формул і говорити про це.

То ж постановка задачі аналізу виглядає наступним чином:

Для простоти балка буде ати прямокутний переріз

F – площа перетину. I – момент інерції, W – момент опору

напруження = M_R/W = Pl/W

вигин = Pl³/(3EI)

Добре. З формулами відносно розібралися. Якщо формул не має, то ми їх можемо замінити на розрахунок (аналіз), який ми поставили в CAE. Тепер питання, а що ми будемо оптимізувати і яким чином? Які в нас критерії, які методи, які параметри, які обмеження?

Що стосується балки. Скоріш за все в нас відома довжина цієї балки, і навряжчи довжина в даному випадку може бути параметром оптимізації. Бувають і такі варіанти, але все ж, зазвичай, габаріти конструкції нам +/- відомі. Тому будемо вважати що в нас довжина балки 1000 мм (тобто 1 м).

Сила. Сила нам теж потрібна для аналізу, і в певних варіантах вона може залежати від загальних параметрів оптимізуємої конструкції… Наприклад якщо ми захочемо розрахувати напруження і вигини від власної ваги… Але покищо ми беремо простий варіант – сила незалежна. Уявімо що сила в нас буде 10т тобто 100 000Н

Довжина та навантаження – це константи, які не змінюються при оптимізації. Тобто це ен параметри а просто незалежні умови.

Переріз. В ідеалі нам нашу оптимізацію треба з чогось починати, і як ми розібралися, результат оптимізації може залежати від того звідки ми почнемо. Але, покищо про це забудемо. Таким чином в нас є два незалежних параметри – ширина та висота перерізу. Якщо забути про реальність то ці розміри можуть бути будь якими, головне щоб були >0.

Але, довжина балки до ширини та висоти повинна мати певні відношення. Точніше ці відношення повинні бути в конкретних рамках, щоб можна було нормально використовувати балочний підхід. Є багато варіантів коли це порушується, але візьмемо за основу 0.1 від довжини балки для обох розмірів в якості старту. А в якості обмежень візьмемо діапазон 0.05-0.2. Ось в нас параметри стали мати обмеження (умови)

Що ще ми можемо покласти в параметри? тобто чим ще ми можемо гратися для досягнення результатів? Покищо ми не визначилися з тим які ж саме ми хочемо результати, але по формулах можна побачити, що деякі формули містять інформацію яку ми вже перелічили (наприклад напруження) а для деяких (наприклад переміщення) нам ще потрібним є модуль пружності матеріріалу. І, дійсно, від матеріалу багато чого залежить. І ось тут треба зрозуміти. що матеріал то може бути параметром. Але це не зовсім параметр. Принаймні просто однією цифрою як у розмірі тут не обійдешся.

Чому так?

Які бувають матеріали? Метали, неметали. З металів це може бути сталі, чавуни, алюміній, титан, магній… І треба розуміти що всі ці слова це не просто шось одне, це низка слпавів, які мають певні схожі характеристики, але в той же час, багато чим відрізняються. Найпростіше це щільність та пружність. Але сюди ж можна віднести механічну міцність (спростимо її до межи плинності), ціну, можлиість купити, наявність сортаменту, технологічність…

Тобто матеріал це хоч і та штука, якою м можемо гратися – не є просто однією цифрою яка може довільно змінюватися. А для того щоб всі цифри перетворити на одну – треба зробити комплексний параметр, де кожному варіанту відповідає конкретний матеріал, з конкретними властивостями. І його можна буде змінювати тільки “ступінчасто” (про це поговоримо окремо) а не безперервно, як габарити перерізу

Хтось може сказати, що ми можемо взяти з властивостей матеріалів тільки якийсь один момент (наприклад модуль пружності) і гратися ним безперервно, тим самим спростивши собі задачу.

Ну в цілому – так. Це можливо. І таке роблять. Але якщо до цього підійти дуже просто, то замість розумної оптимізації ми отримаємо якусь фігню. Якщо, наприклад, нам підійде в результаті оптимізації матеріал з пружністю між алюмінієм та титаном… це ми яким чином будемо реалізовувати? Пишіть в коментарях, а я покищо повернусь.

То ж умовно, чим ми можемо варіювати? в нас може бути алюміній, сталь, титан Це дає нам відповідну різницю в основних властивостях/параметрах: пружності +/- 78, 110, 200 (ГПа), різницю в щільності: 2.7, 4.5, 7.8 (г/см3). І для кожного матеріалу ми будемо мати додаткові властивості/параметри, наприклад, характеристики міцності від найменьших до найліпших, це 150-500, 250-750, 250-1200 (в МПа). Ціна буде змінюватися приблизно також 3-10, 5-15, 0.5-10 (в у.о.). Дуже грубо але поки залишимо так.

Окей. Тепер ми можемо порахувати, як основні штуки – напруження, вигин, так і похідні (коефіцієнт запасу). А також ми можемо оцінити вагу та ціну нашого виробу. Де вага буде основним контрольованим параметром, а ціна – похідним.

вага, напруження, запас – це параметри які ми будемо контролювати під час виконання розрахунків (тобто вирішення задачі аналізу). Шось з цього може бути критерієм оптимізації. Щось – обмеженням. Якщо нам не потрібні “похідні” результати – то ми можемо проігнорувати певні додаткові властивості/параметри. Якщо нам вони є дуже важливими – то доведеться або збільшувати кількість вхідних варійованих параметрів, або робити якісь модифікації в задачі, щоб зменшити її розмірність.

То ж постановка задачі. Умови:

• консольно закріплена балка
• довжина 1 м
• навантаження на протилежному кінці силою 100 000Н під кутом 90 до балки
• початковий варіант параметрів вказаний нижче

Вхідні Параметри:

• ширина та висота перерізу [0.05-0.2]м початковий варіант: 0.1м для обох параметрів
• тип матеріалу [алюміній, титан, сталь], що дає модуль пружності та щільність. Початковий матеріал “сталь”
• якість матеріалу [низька…висока], що в залежності від матеріалу дає межу плинності та ціну матеріалу. Початкова якість середня

Вихідні Параметри:

• об’єм
• маса (вага) виробу
• ціна вирбу
• максимальні напруження
• максимальний вигин
• к-т запасу

Через те, що в нас досить проста задача і кожен з вихідних параметрів має простий аналітично визначений зв’язок з вхідними параметрами будь яку оптимізацію можна буде вирішити прямим методом і нам не треба обирати якісь важкі методи оптимізації. Тому покищо, ми будемо уявляти що сам процес опимізації виконується якимось чином і будемо дивитись тільки на результат.

Ну з базою розібралися тепер давайте проаналізуємо початковий варіант конструкції, і далі будемо дивитися шо і як в нас буде.

початковий – балка є, навантаження є, переріз 0.1м по висоті і ширині, матеріал сталь (пружність – 2е11Па, к-т Пуассона 0.3, щільність – 7800). Якість матеріалу поки не враховуємо. далі буде зрозуміло чому.

То ж.

На вигин впливає Iz = b*h³/12 = 8.33e-6,
на напруження Wz = b*h²/6 = 0.000167

Як результат, напруження = 6е8Па = 600 МПа, вигин = 2е-2м =20 мм

Об’єм =l*b*h = 1*0.1*0.1 = 0.01м³

маса = 78 кг

через те, що ми відклали якість, то на цьому поки все. З точки зору аналізу конструкції.

З точки зору оптимізації, як ми вже казали, є дуже важливим що ж за критерій оптимізації ми візьмемо. Тобто по якому з вихідних параметрів (або по яким. Ми будемо оптимізувати.

Припустимо що будемо оптимізувати за масою. Що можна сказати?

Маса стальної балки буде змінюватися:

• сталь 19.5 кг (0.05х0.05) напруження 4800 МПа, вигин 320 мм (про адекватність результатів покищо не говоримо)
• сталь 78 кг (0.1х0.1,0.05х0.2,0.2х0.05) напруження (600, 300, 1200) МПа вигин (20, 5, 80) мм
• сталь 312 кг (0.2х0.2) напруження 75, вигин 1.25 мм

якщо візьмемо алюміній то напруження в нас не зміняться, а от маса та вигини – так.

• алюміній 7 кг (0.05х0.05) напруження 4800 МПа, вигин 865 мм
• алюміній 27.7 кг (0.1х0.1,0.05х0.2,0.2х0.05) напруження (600, 300, 1200) МПа вигин (54.5, 13.5, 216) мм
• алюміній 110 кг (0.2х0.2) напруження 75, вигин 3.38 мм

Титан:

• Титан 11.3 кг (0.05х0.05) напруження 4800 МПа, вигин 582 мм
• Титан 45 кг (0.1х0.1,0.05х0.2,0.2х0.05) напруження (600, 300, 1200) МПа вигин (36.4, 9, 146) мм
• Титан 180 кг (0.2х0.2) напруження 75, вигин 2.3 мм

Таким чином, вага змінюється від 7 кг (найменьший переріз, алюміній) до 312 кг (найбільший переріз сталь) при цьому:

• алюміній 7-110
• титан 11.3-180
• сталь 19.5 – 312

і хоча з точки зору безумовної оптимізації лідер нам відомий (ті самі 7 кг) можна побачити, що є певний перетин між діапазонами

Все ще не будемо пригадувати за фізичність, і тепер зробимо оптимізацію з точки зору жорсткості (тобто будемо мінімізувати вигин), і в нас буде найкращій результат не у алюмінія з найменьшим перетином, а у сталі з найбільшим. Для сталі це буде 1.25 мм при 0.2х0.2 (для алюмінія та титану, відповідно – 3.4, 2.3)

Якщо зробимо оптимізацію за напруженнями буде взагалі казна що, бо ми отримаємо три оптимальних рішення: переріз 0.2х0.2 матеріали: сталь, алюміній, титан. Бо напруження не залежать від матеріалу.

Якщо б це було не аналітичне рішення простої задачі, а числове за допомогою МСЕ та CAE програм. То для того щоб отримати схожі результати, нам би довелося робити 15 розрахунків. І це для випадка коли в нас задача нормально лінеаризується, і по суті оптимум з будь якого критерію буде або в “кутах” або посередині. І це лише для трьох варіюємих параметрів. Якщо б поверхня відгуку була не такою зрозумілою, то кількість розрахунків би значно збільшилась. але це буде в наступних публікаціях більш точно. А поки повернемось і пригадаємо, що в нас є певні умови (міцність матеріалу відносно якості). Дуже круто, що по суті для таких розрахунків немає потреби робити розрахунки ще раз, а треба оцінити лише отримані результати. То ж: 150-500, 250-750, 250-1200 МПа (алюм, титан, сталь)

Що з цього можна сказати? що варіант 0.05х0.05 з напруженням 4800 МПа – не проходить по жодному з матеріалів.

Для алюмінія проходять (жовтеньке, те що більше за 0)

Як бачимо, навіть для нафкращіх і найдорожчих алюмінієвих сплавів проходить геть не всі варіанти.

Що ж стосується сталі то для неї картинки найгіршого та найкращого матеріалів будуть виглядати якось так:

Як бачимо, для найкращої сталі (з тих які ми заклали, бо є ще кращі варіанти) більше половини варіантів проходять.

І якщо тепер зробити оптимізацію по масі, то вже не є таким наочним результат хто ж переможе. Якщо ви вмієте в формули, то тут так само можна, все отримати “автоматом”, але простіше “ручками”. то ж
Алюміній маса:

титан:

сталь:

Напруження:

А тепер дві таблиці у вигляді графіків (це я поясню пізніше):

а тепер таблиці ваги та ціни в залежності від того який матеріал (та якої я ми використовуємо:

 

 

 

 

Нагадаю що і розбіг меанічних властивостей взятий умовним, що невраховуються невеличкі коливання щільності, і що, ОСОБЛИВО, ціна взята умовною. Тому результати можуть трохи відрізнятися від реальних.

І от тепер, коли в нас є ось такі результати (які були тут наведені просто для наочності) зробимо оптимізацію:

Воно ж у графічному вигляді:

Взагалі то там повинні бути не прямі лініїї а набори точок, які неможливо поєднати простою прямою, але для простоти ми зробили відображення такого “тренду”

Деякі висновки. Мінімальна маса у високоякісного алюмінія. Мінімальна ціна у дешевої сталі (дивно да? 😉 ). Високоякісна сталюка з титанами (усіма) та звичайним алюмінієм знаходяться +- на одному балансі (ціна, вага).

Також з цього можна зрозуміти, що якщо взяти за базу конструкцію з дешевого алюмінію. То зі сталі можна виготовити конструкцію яка буде сходною і за ціною і за масою (через те, що сталь має більший діапазон міцності і на початку її ціна роста значно повільніше) . Також можна зрозуміти що зі сталі можна виготовити легкі конструкції але вони будуть значно більш дорогими ніж з “летючого металу”. Також зрозуміло що титан має дуже схожий баланс міцності легкості як і сталь і вони гірші за алюміній, тому його використовують переважно там де мови використання не дозволяють використовувати алюміній (ну це і так відомо, але тут можна цьому побачити певне підтвердження).

Що ми отримали по ітогу? Якби ми проводили оптимізацію за критерієм маси, і робили це без урахування обмежень механічної міцності ми б обрали 7 кілограмову конструкцію з алюмінію… і вона б не працювала.

Найлегша, працездатна конструкція (без урахування ціни) десь 22 кг (що в 3 рази гірше за перший варіант). Значно більш дешевими, серед працездатних, є варіанти на рівні 50-60 кг і такі варіанти можна зробити з будь якого типу матеріалу (але буде потрібна різна якість матеріалу, або різна кількість), більше того, їх ціна в результаті може бути досить схожою. І тут питання навіть не в тому, що ми отримаємо результат, що майже в 10 разів гірший за “оптимальний за масою”. А в тому, що коли ми починаємо грати не просто в оптимізацію а в баланс – ми потрапляємо в певну зону, де результати дуже схожі.

Також по цій таблиці оптимізації, слід взяти до уваги, що результати які увійшли до неї це результати які знаходились не аналітично (що можливо в нашому випадку), а числовим способом з певним кроком. Тому замість оптимального значення в 22.3786543213(3) кг, або навть 21.2 ми маємо 22.4 Бо це найближче число яке пройшло. Те ж саме з усіма іншими. Тобто ми отримали не оптимальне число, а близьке до оптимального (чому це можливо, будемо розглядати не сьогодні).

Але ось ці останні висновки були зроблені на основі критерію маса та додаткового критерію ціна, який сильно пов’язаний з масою. А трохи раніше ми ще говорили про міцність. Що ж. давайте поглянемо на таблиці міцності. Не на напруження, що ми наводили трохи раніше. А саме на міцність.

 

 

 

І ось тут ми можемо зрозуміти що для сталі максимально можливий к-т запасу (тобто загальна міцність) буде

Ми і до того пам’ятали що сталь є найбільш міцною. Але тут питання не тільки в тому що вона найміцніша, але які практично можемо отримати запаси міцності.

А ще були вигини, тобто жорсткість.

І як бачите не дивлячись на те що жорсткість досить сильно пов’язана з міцністю, а ціна з масою (в рамках конкретної задачі) результати оптимізації за кожним з критеріїв, особливо з урахуванням обмежень (що йдуть від експлуатації, методики розрахунку, габаритів, матеріалів, тощо) можуть дуже сильно відрізнятися. І питання не тільки в тому що “кінцеві” точки відрізняються (для маси ми беремо найменьший профіль, а для міцності та жорсткості – найбільший) але і законами зміни.

Поясню. Як можна побачитти з таблиці маси. Для нас абсолютно немає різниці між шириною та висотою профілю. Їх вплив – симетричний та рівнозначний.

А от для міцності та жорсткості – висота є значно більш важливим параметром ніж ширина. І невеличка зміна висоти, яка майже нідочого не призведе по масі, може суттево змінити жорсткість та міцність.

Візьмемо, для прикладу 50 кг. Що це нам дає?
Для алюмінію це балки висота*ширина: 0.09х0.2, 0.1х0.18, 0.12х0.15, 0.13х0.14, 0.15х0.12,0.18х0.1, 0.2х0.09. Можна побачити, що присутні не всі варіанти (але це через крок в 1 см з яким ми змінюємо габарити перерізу). Так от, всі ці варіанти мають масу 50.4-50.96, тобто різниця по масі – 1.1%. А от з точки зору напружень: 370.4, 315.8, 277.8, 253.4, 222.2, 185.2, 166.7 МПа. Тобто більше ніж в два рази. І якщо підбирати ціну згідно до напружень, при незмінності маси, ціна за конструкцію також виросте в 2-3 рази. А пам’ятаєте, що в нас були ще матеріали (ну там сталь, титан)? І якщо ми це будемо робити з урахуванням того, що не тільки алюм, то картина стане ще цікавішою.

Про що це говорить? а це нас повертає до питання, що в залежності від того, як ми поставимо задачу оптимізації, і що саме ми будемо оптимізувати, що змінювати, а що контролювати – результат буде змінюватись кардинально.

На сьогодні певно все. і так всбого забагато. А далі ми будемо час від часу звертатися до цієї задачі. І будемо розглядати певні питання більш детально. А також вносити невелички зміни в постановку щоб краще зрозуміти вплив певних тонкощів та ньюансів.

Хто осилив, а хто просто прогортав до кінця. Зізнавайтеся?
Ну і звісно пишіть питання